Версия для печати
Убрать все задачи

---

Угол при вершине A треугольника ABC равен 120^o. Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что расстояние от вершины A до центра окружности равно периметру треугольника ABC.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что  CB = BE.

   Решение

---

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

   Решение

---

Фазовая плоскость Opq разбивается параболой  p² – 4q = 0  и прямыми  p + q + 1 = 0,  – 2p + q + 4 = 0  на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен  x² + px + q = 0  на интервале  (– 2, 1).

   Решение

---

Докажите, что если в четырехугольнике два противоположные угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

   Решение

---

На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что  ∠AEC = 90°.  Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O₁O₂. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.

   Решение

---

Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде  3^u₁2^v₁ + 3^u₂2^v₂ + ... + 3^u_k2^v_k,  где  u₁ > u₂ > ... > u_k ≥ 0  и  0 ≤ v₁ < v₂ < ... < v_k  – целые числа.

   Решение

---

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

   Решение

---

Переложите пирамиду из 10 кубиков (см. рисунок) так, чтобы её форма осталась прежней, но каждый кубик соприкасался только с новыми кубиками.

   Решение

---

На стороне AC остроугольного треугольника ABC взята точка D так, что AD = 1, DC = 2, а BD является высотой треугольника ABC. Окружность радиуса 2, проходящая через точки A и D, касается в точке D окружности, описанной около треугольника BDC. Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

---

Смешарики живут на берегах пруда в форме равностороннего треугольника со стороной 600 м. Крош и Бараш живут на одном берегу в 300 м друг от друга. Летом Лосяшу до Кроша идти 900 м, Барашу до Нюши – тоже 900 м. Докажите, что зимой, когда пруд замёрзнет и можно будет ходить прямо по льду, Лосяшу до Кроша снова будет идти столько же метров, сколько Барашу до Нюши.

   Решение

---

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12. Точка K лежит на продолжении ребра BC на расстоянии, равном 9, от вершины C . Точка L ребра AB удалена от A на расстояние, равное 5. Точка M делит отрезок A1C1 в отношении 1:3 , считая от A1 . Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки K , L , M .

   Решение

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Куб ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12. Точка K лежит на продолжении ребра BC на расстоянии, равном 9, от вершины C . Точка L ребра AB удалена от A на расстояние, равное 5. Точка M делит отрезок A1C1 в отношении 1:3 , считая от A1 . Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки K , L , M .

Решение

Пусть прямая LK пересекает ребро CD в точке F (рис.1). По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей секущая плоскость пересекает основание A1B1C1D1 по прямой a , проходящей через точку M параллельно LF . Пусть прямая a пересекает прямые A1B1 и C1D1 в точках N и E соотвественно, а точки L1 , F1 и K1 – ортогональные проекции точек соответственно L , F и K на плоскость A1B1C1D1 . Обозначим BKL = B1K1L1 = α . Тогда

tg α = = = , C1F1 = CF = CK tg α = 9· = 3, cos α = .
Обозначим F1E = L1N = x (рис.2). Тогда
A1N = A1L1 - L1N = AL - L1N = 5 - x, C1E = C1F + F1E = 3 + x ,

= = , = ,
откуда находим, что L1N = x = 3 . Тогда C1E = 6 , A1N = 2 . Точки E и N лежат на сторонах C1D1 и A1B1 . Поэтому сечение данного куба плоскостью, проходящей через точки K , L и M , – параллелограмм LFEN . Опустим перпендикуляр LH из точки L на прямую NE (рис.1). Тогда LH – высота параллелограмма LFEN . По теореме о трёх перпендикулярах L1H NE . Из прямоугольного треугольника L1HN находим (рис.2), что
L1H = L1N cos NL1H = L1N cos α = 3· = .
Значит,
LH = = = .
Опустим перпендикуляр FP на AB . Тогда
LP = BL - BP = 7 - 3 = 4,

NE = LF = = = 4.
Следовательно,
S_LFEN = NE· LH = = 156.

Ответ

156.00

Источники и прецеденты использования