Выбрано 15 задач 
Убрать все задачи
Числа a, b и c таковы, что (a + b)(b + c)(c + a) = abc, (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a3) = a³b³c³. Докажите, что abc = 0.
Петя отметил на плоскости несколько (больше двух) точек, все расстояния между которыми различны. Пару отмеченных точек (A, B) назовём необычной, если A – самая дальняя от B отмеченная точка, а B – ближайшая к A отмеченная точка (не считая самой точки A). Какое наибольшее возможное количество необычных пар могло получиться у Пети?
Доска 2010×2011 покрыта доминошками 2×1; некоторые из них лежат горизонтально, некоторые – вертикально.
Докажите, что граница горизонтальных доминошек с вертикальными имеет чётную длину.
В турнире каждый участник встретился с каждым из остальных один раз. Каждую встречу судил один арбитр, и все арбитры судили разное количество встреч. Игрок Иванов утверждает, что все его встречи судили разные арбитры. То же самое утверждают о себе игроки Петров и Сидоров. Может ли быть, что никто из них не ошибается?
Натуральные числа a < b < c таковы, что b + a делится на b – a, а c + b делится на c – b. Число a записывается 2011, а число b – 2012 цифрами. Сколько цифр в числе c?
Две окружности w1 и w2 пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l1 и l2 (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l2 и l1, вторично пересекают окружности w1 и w2 соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C1; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B1. Докажите, что B1C1 || AD.
Дана бесконечная последовательность чисел a1, a2, a3, ... Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что
ak = ak+t = ak+2t = ... Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что ak = ak+T при любом натуральном k?
Высоты AA1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H; B0 – середина стороны AC. Прямая, проходящая через вершину B параллельно AC, пересекает прямые B0A1, B0C1 в точках A′, C′ соответственно. Докажите, что прямые AA′, CC′, BH пересекаются в одной точке.
Высоты AH, CH остроугольного треугольника ABC пересекают внутреннюю биссектрису угла B в точках L1, P1, а внешнюю в точках L2, P2. Докажите, что ортоцентры треугольников HL1P1, HL2P2 и вершина B лежат на одной прямой.
Пусть AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника ABC; A0, C0 – точки пересечения описанной окружности треугольника A1BC1 с прямыми A1B1 и C1B1 соответственно. Докажите, что прямые AA0 и CC0 пересекаются на медиане треугольника ABC или параллельны ей.
Треугольник ABC вписан в окружность Ω с центром O. Окружность Ω1, построенная на AO как на диаметре, пересекает описанную окружность Ω2 треугольника OBC в точке S, отличной от O. Касательные к Ω в точках B и C пересекаются в точке P. Докажите, что точки A, S и P лежат на одной прямой.
Может ли n! оканчиваться ровно на пять нулей?
Даны угол ABC и точка M внутри его. Постройте
окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку M.
В комнате стоят трёхногие табуретки и четвероногие стулья. Когда на все
эти сидячие места уселись люди, в комнате оказалось 39 ног.
Сколько в комнате табуреток?
|
|
 |
Условие
В комнате стоят трёхногие табуретки и четвероногие стулья. Когда на все
эти сидячие места уселись люди, в комнате оказалось 39 ног.
Сколько в комнате табуреток?
Решение
По условию в комнате находятся пяти- и шестиногие существа, у которых в сумме 39 ног. Число ног у пятиногих оканчивается на 0 или 5. Но на 0 это число оканчиваться не может: тогда число ног у шестиногих будет кончаться на 9. В таком случае пятиногих может быть 1, 3, 5 или 7. Перебором определяем, что пятиногих существ – 3, а шестиногих – 4. То есть в комнате 4 стула и 3 табуретки.
Ответ
3 табуретки.
