Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
В остроугольном треугольнике ABC проведены
медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Может ли
площадь треугольника, образованного точками пересечения
этих отрезков, быть больше
0, 499SABC?
а) Можно ли разложить 20 монет достоинством в 1, 2, 3, ..., 19, 20 мунгу по трём карманам так, чтобы в каждом кармане оказалась одинаковая сумма денег?
б) А если добавить еще один тугрик? (Как известно, один тугрик равен ста мунгу.)
Даны отрезки a и b. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок .
Биссектриса и высота, проведённые из одной вершины некоторого треугольника, делят его противоположную сторону на три отрезка.
Может ли оказаться, что из этих отрезков можно сложить треугольник?
Найдите конечную арифметическую прогрессию с разностью 6 максимальной длины, состоящую из простых чисел.
Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?
Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку A, пересекается с другой их общей касательной в точке B. Найдите радиус второй окружности, если AB = 4.
В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями – елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного – одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного – тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берёз посажено вокруг дома?
Окружность S с центром O на основании BC
равнобедренного треугольника ABC касается равных сторон AB и AC.
На сторонах AB и AC взяты точки P и Q так, что отрезок PQ
касается окружности S. Докажите, что тогда
4PB . CQ = BC2.
К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Докажите, что радиус окружности есть среднее геометрическое отрезков третьей касательной.
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30o . Найдите радиусы сфер.
Докажите, что любое простое число, большее 3, можно записать в одном из двух видов: 6n + 1 либо 6n – 1, где n – натуральное число.
|
|
 |
Условие
Докажите, что любое простое число, большее 3, можно записать в одном из двух видов: 6n + 1 либо 6n – 1, где n – натуральное число.
Подсказка
Какие остатки при делении на 6 может давать простое число, большее 3?
Решение
Простое число, большее 3, при делении на 6 не может давать остатки 0, 2, 3, 4 – в любом из этих случаев оно будет составным. Возможны только остатки 1 и 5.
