Разложите функции     и     (n ≥ 1)  в цепные дроби.
Определения многочленов Фибоначчи F_n(x) и Люка L_n(x) смотри, например, здесь.

   Решение

Сколько целых чисел от 1 до 1997 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

   Решение

Проверьте, что многочлены Чебышёва T_n(x) и U_n(x) (см. задачу 61099) удовлетворяют начальным условиям
T₀(x) = 1,   T₁(x) = x;   U₀(x) = 1,   U₁(x) = 2x,   и рекуррентным формулам   T_n+1(x) = 2xT_n(x) – T_n–1(x),   U_n+1(x) = 2xU_n(x) – U_n–1(x).

   Решение

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

   Решение

Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC.

   Решение

Стороны треугольника равны a, b, c. Докажите, что медиана, проведённая к стороне c, равна .

   Решение

Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A₁, то  AB = BA₁).  Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.

   Решение

На отрезке  [0, 1]  числовой оси расположены четыре точки: a, b, c, d.
Докажите, что найдётcя такая точка x, принадлежащая  [0, 1],  что  

   Решение

Рассматриваются такие наборы действительных чисел  {x₁, x₂, x₃, ..., x₂₀},  заключённых между 0 и 1, что  x₁x₂x₃...x₂₀ = (1 – x₁)(1 – x₂)(1 – x₃)...(1 – x₂₀).  Найдите среди этих наборов такой, для которого значение x₁x₂x₃...x₂₀ максимально.

   Решение

Тема:    [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Рассматриваются такие наборы действительных чисел  {x₁, x₂, x₃, ..., x₂₀},  заключённых между 0 и 1, что  x₁x₂x₃...x₂₀ = (1 – x₁)(1 – x₂)(1 – x₃)...(1 – x₂₀).  Найдите среди этих наборов такой, для которого значение x₁x₂x₃...x₂₀ максимально.

Решение

Значение произведения x₁x₂...x₂₀ максимально тогда же, когда максимально значение выражения   (x₁x₂...x₂₀)² = x₁x₂...x₂₀(1 – x₁)(1 – x₂)...(1 – x₂₀).  Последнее произведение разбивается на множители вида  x_k(1 – x_k),  каждый из которых (например, согласно неравенству Коши) максимален при  x_k = ½.

Ответ

(½, ½, ..., ½).

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования