Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что  ∠$PDA$ = ∠$PBA$.  Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.

   Решение

---

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

   Решение

---

В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что  M ≥ N.

   Решение

---

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что  |$a - b$| ≤ $k$  или  |¹/_a – ¹/_b| ≤ $k$?

   Решение

---

Дано n чисел, p – их произведение. Разность между p и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные n чисел иррациональны.

   Решение

---

Что больше
  а) 2³⁰⁰ или 3²⁰⁰?
  б) 2⁴⁰ или 3²⁸?
  в) 5⁴⁴ или 4⁵³?

   Решение

---

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B₂ и C₂ – середины отрезков BA₁ и CA₁ соответственно. Точка B₃ симметрична C₁ относительно B, а точка C₃ симметрична B₁ относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

---

К натуральному числу  a > 1  приписали это же число и получили число b, кратное a². Найдите все возможные значения числа  ^b/_a².

   Решение

---

а) Мальвина разбила каждую грань куба 2×2×2 на единичные квадраты и велела Буратино в некоторых квадратах написать крестики, а в остальных нолики так, чтобы каждый квадрат граничил по сторонам с двумя крестиками и двумя ноликами. На рисунке показано, как Буратино выполнил задание (видно только три грани). Докажите, что Буратино ошибся.

б) Помогите Буратино выполнить задание правильно. Достаточно описать хотя бы одну верную расстановку.

   Решение

---

Дан картонный прямоугольник со сторонами a см и b см, где  ^b/₂ < a < b.
Докажите, что его можно разрезать на три куска, из которых складывается квадрат.

   Решение

---

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$, проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$.

   Решение

---

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ касается ω. Окружность Ω_b с центром P проходит через вершину B, а окружность Ω_c с центром Q – через C. Докажите, что окружности Ω, Ω_b и Ω_c имеют общую точку.

   Решение

---

Стороны AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD касаются некоторой окружности в точках K, L, M и N соответственно, S – точка пересечения отрезков KM и LN. Известно, что вокруг четырёхугольника SKBL можно описать окружность. Докажите, что вокруг четырёхугольника SNDM также можно описать окружность.

   Решение

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD касаются некоторой окружности в точках K, L, M и N соответственно, S – точка пересечения отрезков KM и LN. Известно, что вокруг четырёхугольника SKBL можно описать окружность. Докажите, что вокруг четырёхугольника SNDM также можно описать окружность.

Решение

Обозначим через α, β, γ и δ вписанные углы, опирающиеся соответственно на дуги NK, KL, LM и MN. Ясно, что  α + β + γ + δ = 180°.
∠BLS = ∠BLN = α + β  (BLN – угол между хордой и касательной). Аналогично  ∠BKS = β + γ,  ∠DMS = α + δ,  ∠DNS = γ + δ.  Отсюда видно, что сумма этих четырёх углов равна  2(α + β + γ + δ) = 360°.  Поскольку четырёхугольник SKBL вписанный,  ∠BLS + ∠BKS = 180°.  Поэтому и
∠DMS + ∠DNS = 180°,  то есть четырёхугольник SNDM вписанный.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования