ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков – белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик?

   Решение

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      



Задача 109808  (#04.5.10.1)

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Раскраски ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109802  (#04.5.10.2)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков – белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109803  (#04.5.10.3)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Гомотетичные многоугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109811  (#04.5.10.4)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Даны натуральное число  n > 3  и положительные числа x1, x2, ..., xn, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 109804  (#04.5.10.5)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Последовательность неотрицательных рациональных чисел a1, a2, a3, ... удовлетворяет соотношению  am + an = amn  при любых натуральных m, n.
Докажите, что не все её члены различны.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .