Страница:
<< 6 7 8 9 10
11 12 >> [Всего задач: 56]
Задача
109805
(#04.5.10.6)
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
В стране 1001 город, каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог, в каждый город входит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из каждого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.
Задача
109806
(#04.5.10.7)
|
|
Сложность: 5+ Классы: 8,9,10
|
Треугольник
T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного
многоугольника
M .
Треугольник
T' получается из треугольника
T
центральной симметрией относительно некоторой точки
P , лежащей внутри треугольника
T .
Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника
T' лежит
внутри или на границе многоугольника
M .
Задача
109807
(#04.5.10.8)
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
Существует ли такое натуральное число n > 101000, не делящееся на 10, что в его десятичной записи можно
переставить две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых
делителей не изменилось?
Задача
109808
(#04.5.11.1)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 7,8,9
|
Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета
присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
Задача
109795
(#04.5.11.2)
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Пусть IA и IB – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и CA треугольника ABC соответственно, а P – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных
окружностей треугольников IACP и IBCP, совпадает с центром окружности Ω.
Страница:
<< 6 7 8 9 10
11 12 >> [Всего задач: 56]