Версия для печати
Убрать все задачи

---

Изобразите на комплексной плоскости множество точек z, удовлетворяющих условию  |z – 1 – i| = 2|z + 1 – i|.

   Решение

---

В прямоугольной трапеции основания равны 17 и 25, а большая боковая сторона равна 10. Через середину M этой стороны проведён к ней перпендикуляр, пересекающий продолжение второй боковой стороны в точке P. Найдите MP.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC точка D выбрана на стороне AB так, что DCA = 45^o. Точка D₁ симметрична точке D относительно прямой BC, а точка D₂ симметрична точке D₁ относительно прямой AC и лежит на продолжении отрезка BC за точку C. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = CD₂, AB = 4.

   Решение

---

Число n называется совершенным, если  σ(n) = 2n.
Докажите, что если  2^k – 1 = p  – некоторое простое число Мерсенна, то  n = 2^k–1(2^k – 1)  – совершенное число.

   Решение

---

Докажите. что если в трапеции ABCD середину M одной боковой стороны AB соединить с концами другой боковой стороны CD, то площадь полученного треугольника CMD составит половину площади трапеции.

   Решение

---

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат ABDE. Известно, что  AC = 1,   BC = 3.
В каком отношении делит сторону DE биссектриса угла C?

   Решение

---

Из одинакового количества квадратов со сторонами 1, 2 и 3 составьте квадрат наименьшего возможного размера.

   Решение

---

Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство: R2r (R и r — радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство R = 2r имеет место только для правильного треугольника.

   Решение

---

Требуется разделить криволинейный треугольник на рисунке на 2 части одинаковой площади, проведя одну линию циркулем. Это можно сделать, выбрав в качестве центра одну из отмеченных точек и проводя дугу через другую отмеченную точку. Найдите способ это сделать и докажите, что он подходит.

   Решение

---

Докажите, что многочлен  x¹² – x⁹ + x⁴ – x + 1  при всех значениях x положителен.

   Решение

---

Даны два треугольника A₁A₂A₃ и B₁B₂B₃. "Опишите" вокруг треугольника A₁A₂A₃ треугольник M₁M₂M₃ наибольшей площади, подобный треугольнику B₁B₂B₃ (вершина A₁ должна лежать на прямой M₂M₃, вершина A₂ – на прямой A₁A₃, вершина A₃ – на прямой A₁A₂).

   Решение

---

Докажите, что для положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, не превосходящих 1, выполнено неравенство
   

   Решение

---

Докажите равенство:

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61167  (#08.006)

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ] [ Квадратные корни (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Решите уравнения при 0^o < x < 90^o:

a)  + = 2;

б)  + = ;

в)  + = .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61168  (#08.007)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите равенство:

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61169  (#08.008)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите равенство:

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61170  (#08.009)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Многочлены (прочее) ] [ Формула Герона ] [ Неравенства для площади треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть x, y, z – положительные числа и  xyz(x + y + z) = 1.  Найдите наименьшее значение выражения  (x + y)(x + z).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61171  (#08.010)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Разложение на множители ] [ Формула Герона ] [ Неравенства для площади треугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Неотрицательные числа x, y, z удовлетворяют неравенствам  5 ≤ x, y, z ≤ 8.
Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать величина  S = 2x²y² + 2x²z² + 2y²z² – x⁴ – y⁴ – z⁴ ?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями