ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 116771  (#11.1)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Изначально на столе лежат 111 кусков пластилина одинаковой массы. За одну операцию можно выбрать несколько групп (возможно, одну) по одинаковому количеству кусков и в каждой группе весь пластилин слепить в один кусок. За какое наименьшее количество операций можно получить ровно 11 кусков, каждые два из которых имеют различные массы?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116765  (#11.2)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Каждые два из действительных чисел a1, a2, a3, a4, a5 отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства     Докажите, что  k² ≥ 25/3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116773  (#11.3)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Раскраски ]
[ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116774  (#11.4)

Темы:   [ Пирамида (прочее) ]
[ Свойства разверток ]
[ Касательные к сферам ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Неравенства с трехгранными углами ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Пак И.

Дана пирамида SA1A2...An, основание которой – выпуклый многоугольник A1A2...An. Для каждого  i = 1, 2, ..., n  в плоскости основания построили треугольник XiAiAi+1, равный треугольнику SAiAi+1 и лежащий по ту же сторону от прямой AiAi+1, что и основание (мы полагаем  An+1 = A1).  Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116775  (#11.5)

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Функции. Непрерывность (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Даны многочлен P(x) и такие числа  a1, a2, a3, b1, b2, b3,  что  a1a2a3 ≠ 0.  Оказалось, что  P(a1x + b1) + P(a2x + b2) = P(a3x + b3)  для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .