ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 391]      



Задача 64995

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Доказательство от противного ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

В клетках таблицы 3×3 расставили цифры от 1 до 9. Затем нашли суммы цифр в каждой строке.
Какое наибольшее количество из этих сумм может оказаться полным квадратом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65622

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Доказательство от противного ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 1,9,10,11

Квадрат со стороной 9 клеток разрезали по линиям сетки на 14 прямоугольников таким образом, что длина каждой стороны любого прямоугольника не меньше, чем две клетки. Могло ли оказаться так, что среди этих прямоугольников не было ни одного квадрата?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65752

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Доказательство от противного ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка X, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка X будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66083

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Квадратный трёхчлен  x² + bx + c  имеет два действительных корня. Каждый из трёх его коэффициентов увеличили на 1.
Могло ли оказаться, что оба корня трёхчлена также увеличились на 1?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78155

Темы:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Для любых чисел a1 и a2, удовлетворяющих условиям  a1 ≥ 0,  a2 ≥ 0,  a1 + a2 = 1,  можно найти такие числа b1 и b2, что  b1 ≥ 0,  b2 ≥ 0,  b1 + b2 = 1,
(5/4a1)b1 + 3(5/4a2)b2 > 1.  Доказать.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 391]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .