ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      



Задача 57461

Тема:   [ Неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 5
Классы: 9

Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A1, B1 и C1. Докажите, что треугольник A1B1C1 остроугольный.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57462

Тема:   [ Неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 5+
Классы: 9

Из медиан треугольника с углами  $ \alpha$,$ \beta$ и $ \gamma$ составлен треугольник с углами  $ \alpha_{m}^{}$,$ \beta_{m}^{}$ и $ \gamma_{m}^{}$ (угол $ \alpha_{m}^{}$ лежит против медианы AA1 и т. д.) Докажите, что если  $ \alpha$ > $ \beta$ > $ \gamma$, то  $ \alpha$ > $ \alpha_{m}^{}$,$ \alpha$ > $ \beta_{m}^{}$,$ \gamma_{m}^{}$ > $ \beta$ > $ \alpha_{m}^{}$,$ \beta_{m}^{}$ > $ \gamma$ и  $ \gamma_{m}^{}$ > $ \gamma$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 110151

Темы:   [ Неравенства для углов треугольника ]
[ Тригонометрические неравенства ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11

При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство

sin nα + sin nβ + sin nγ<0?

Прислать комментарий     Решение

Задача 77937

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

В $ \Delta$ABC вписана окружность, которая касается его сторон в точках L, M и N. Докажите, что $ \Delta$LMN всегда остроугольный (независимо от вида $ \Delta$ABC).
Прислать комментарий     Решение


Задача 64734

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Для каждой вершины треугольника ABC нашли угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из этой вершины. Оказалось, что эти углы в вершинах A и B равны друг другу и меньше, чем угол в вершине C. Чему равен угол C треугольника?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .