ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      



Задача 111266

Темы:   [ Симметричные неравенства для углов треугольника ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тригонометрические неравенства ]
[ Теорема синусов ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Неравенства с медианами ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2 .
Прислать комментарий     Решение


Задача 55197

Темы:   [ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Шесть кругов расположены на плоскости так, что некоторая точка O лежит внутри каждого из них. Докажите, что один из этих кругов содержит центр некоторого другого.

Прислать комментарий     Решение


Задача 73583

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Биссектриса AD, медиана BM и высота CH остроугольного треугольника ABC пересекаются в одной точке. Докажите, что величина угла BAC больше 45°.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73714

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Итерации ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Признаки подобия ]
[ Сжимающие отображения и неподвижные точки ]
[ Композиции движений. Теорема Шаля ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T1 треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T2 – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T1; аналогично определим треугольники T3, T4 и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
  а) треугольник T1 был остроугольным?
  б) в последовательности T1, T2, T3, ... встретился прямоугольный треугольник Tn (и таким образом треугольник Tn+1 не определён)?
  в) треугольник T3 был подобен треугольнику T?
  г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник Tn подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111041

Темы:   [ Шестиугольники ]
[ Неравенства с медианами ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

Каждая пара противоположных сторон данного выпуклого шестиугольника обладает следующим свойством: расстояние между серединами равно /2 умноженное на сумму их длин. Докажите, что все углы в шестиугольнике равны.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .