ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 34]      



Задача 98611

Темы:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

В треугольнике ABC взяли точку M так, что что радиусы описанных окружностей треугольников AMC, BMC и BMA не меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что все четыре радиуса равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 103917

Темы:   [ Прямоугольный треугольник с углом в 30° ]
[ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник.
Доказать, что один из углов треугольника больше чем 135°.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66214

Темы:   [ Системы точек ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

На плоскости отмечено несколько точек, причём не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками?

Прислать комментарий     Решение

Задача 57533

Темы:   [ Теорема косинусов ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Длины сторон (неравенства) ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём  a ≥ b ≥ cx, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

bc + ca – ab < bc cos x + ca cos y + ab cos z ≤ ½ (a² + b² + c²).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 34]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .