ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



Задача 64476

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Стереографическая проекция ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Дана окружность ω и точка A вне её. Через A проведены две прямые, одна из которых пересекает ω в точках B и C, а другая – в точках D и E (D лежит между A и E). Прямая, проходящая через D и параллельная BC, вторично пересекает ω в точке F, а прямая AF – в точке T. Пусть M – точка пересечения прямых ET и BC, а N – точка, симметричная A относительно M. Докажите, что описанная окружность треугольника DEN проходит через середину отрезка BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64886

Темы:   [ Проективная геометрия (прочее) ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Касающиеся сферы и инверсия ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 11

Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть  AB·CD = AC·BD = AD·BC).  Пусть A1 – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A1, B, C и D тригармоническая. Точки B1, C1 и D1 определяются аналогично. Докажите, что
  a) A, B, C1, D1 лежат на одной окружности;
  б) точки A1, B1, C1, D1 образуют тригармоническую четвёрку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65382

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ]
[ Сфера, описанная около пирамиды ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA1, BB1, CC1, DD1 на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A1, B1, C1, D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A1, B1, C1, D1 лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116176

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Теорема Птолемея ]
[ Стереографическая проекция ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

B основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит четырёхугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке P, и SP является высотой пирамиды. Докажите, что проекции точки P на боковые грани пирамиды лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .