Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Задано такое натуральное число A, что для любого натурального N, делящегося на A, число тоже делится на A. (
– число, состоящее из тех же цифр, что и N, но записанных в обратном порядке; например,
= 7691,
= 54). Доказать, что A является делителем числа 99.
Квадрат разбит на n² равных квадратиков. Про некоторую ломаную известно, что она проходит через центры всех квадратиков (ломаная может пересекать сама себя). Каково минимальное число звеньев у этой ломаной?
Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.
В четырёхугольнике длины всех сторон и диагоналей меньше 1 м. Доказать, что его можно поместить в круг радиуса 0,9 м.
a1, a2, ..., a101 – такая перестановка чисел 2, 3, ..., 102, что ak делится на k при каждом k. Найти все такие перестановки.
В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведенных отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые разбивается квадрат этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.
На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.
Володя хочет сделать набор кубиков одного размера и написать на каждой грани каждого кубика по одной цифре так, чтобы можно было из этих кубиков выложить любое 30-значное число. Какого наименьшего количества кубиков ему для этого хватит? (Цифры 6 и 9 при переворачивании не превращаются друг в друга.)
Пусть a^b обозначает число ab. В выражении 7^7^7^7^7^7^7 надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок).
Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?
Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что степень ab - число рациональное?
|
|
 |
Условие
Существуют ли такие иррациональные числа a и b,
что степень ab - число рациональное?
Подсказка
В качестве a можно взять корень из натурального числа.
Решение
Первое решение.
Примером могут служить числа a=101/2,
b=2lg11.
В самом деле,
ab = (101/2)2lg11 =
10(1/2)*2lg11 = 10lg11 = 11.
Осталось показать, что числа 101/2 и lg11
иррациональные.
Если бы выполнялось равенство 101/2=m/n
для некоторых натуральных m и n, то
было бы верно равенство 10n2=m2,
что невозможно, поскольку в левую часть простой множитель 2
входит в нечетной степени, а в правую часть - в четной.
Если бы выполнялось равенство lg11=m/n
для некоторых натуральных m и n, то
было бы верно равенство 10m=11n,
что, очевидно, невозможно.
Второе решение.
Рассмотрим число A = √2√2. Если оно рационально, задача решена (число √2, как известно, иррационально). Если же A иррационально, то число A√2 = √22 = 2 рационально, поэтому A и √2 - искомые числа.
Ответ
существуют.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
