Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трёхзначных чисел, можно выбрать четыре попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 194]      

Сто друзей, среди которых есть Петя и Вася, живут в нескольких городах. Петя узнал расстояние от своего города до города каждого из оставшихся 99 друзей и сложил эти 99 чисел. Аналогично поступил Вася. Петя получил 1000 км. Какое наибольшее число мог получить Вася? (Города считайте точками плоскости; если двое живут в одном и том же городе, расстояние между их городами считается равным нулю.)

Прислать комментарий

Решение

Барону Мюнхгаузену сообщили о многочлене $P(x) = a_nx^n + \dots + a_1x + a_0$ лишь то, что многочлен $P(x) + P(-x)$ имеет ровно 45 различных действительных корней. Барон, не зная даже, чему равно $n$, утверждает, что может определить один из коэффициентов $a_n$, ..., $a_1$, $a_0$ (готов указать его номер и значение). Не ошибается ли барон?

Прислать комментарий

Решение

Если Вася делит пирог или кусок пирога на две части, то всегда делает их равными по массе. А если делит на большее число частей, то может сделать их какими угодно, но обязательно все разной массы. За несколько таких дележей Вася разрезал пирог на 17 частей. Могли ли все части оказаться равными по массе? (Объединять части нельзя.)

Прислать комментарий

Решение

Если Вася делит пирог или кусок пирога на две части, то всегда делает их равными по массе. А если делит на большее число частей, то может сделать их какими угодно, но обязательно все разной массы. За несколько таких дележей Вася разрезал пирог на $N$ частей. При каждом ли $N$ ≥ 10 все части могли получиться равными по массе? (Объединять части нельзя.)

Прислать комментарий

Решение

Найдите все пары натуральных чисел $m$ и $n$, для которых $m!! = n!$. (Двойной факториал $m!!$ – это произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $m$ и имеющих ту же чётность, что $m$. Например, 5!! = 15, 6!! = 48).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 194]