Все авторы
>>
Шаповалов А.В. 
Александр Васильевич Шаповалов (род. 1955 г.) - автор книг "Принцип узких мест", "Турнир городов: мир математики в задачах" и других популярных книг по математике. Ответственный редактор серии "Школьные математические кружки". Ведущий преподаватель Кировской ЛМШ и Московских сборов. Член методической комиссии Турнира городов, турнира им. Савина, московского Математического праздника и других соревнований. См. сайт www.ashap.info.
Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Правильный 1997-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один – остроугольный.
Найдите геометрическое место вершин треугольников с заданными ортоцентром и центром описанной окружности.
В клетчатом квадрате 10×10 отмечены центры всех единичных квадратиков (всего 100 точек). Какое наименьшее число прямых, не параллельных сторонам квадрата,
нужно провести, чтобы вычеркнуть все отмеченные точки?
Bосстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Точки P и Q
симметричны точке C относительно прямых AB и AD
соответственно.
Докажите, что прямая PQ проходит через ортоцентр H треугольника ABD.
Дан треугольник ABC. Пусть I – центр его вписанной окружности, и пусть X, Y, Z – центры вписанных окружностей треугольников AIB, BIC и AIC соответственно. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника XYZ совпадает с I. Обязательно ли тогда треугольник ABC равносторонний?
Дан выпуклый n-угольник A1...An. Пусть Pi (i = 1, ..., n) – такая точка на его границе, что прямая AiPi делит его площадь пополам. Известно, что все точки Pi не совпадают с вершинами и лежат на k сторонах n-угольника. Каково а) наименьшее; б) наибольшее возможное значение k при каждом данном n?
Назовём два неравных треугольника похожими, если можно обозначить их ABC и A'B'C' так, чтобы выполнялись равенства AB = A'B', AC = A'C' и
∠B = ∠B'. Существуют ли три попарно похожих треугольника?
На доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на 3, то побеждает тот, кто делал первый ход, если нет – то его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?
Обёрткой плоской картины размером 1×1 назовём прямоугольный лист бумаги площади 2, которым можно, не разрезая его, полностью обернуть картину с обеих сторон. Например, прямоугольник 2×1 и квадрат со стороной – обёртки.
а) Докажите, что есть и другие обёртки.
б) Докажите, что обёрток бесконечно много.
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
Все задачи автора Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 319]
Задача 107782 |
|
|
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
|
|
Решение |
Задача 107824 |
|
|
а) Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки
соседних цифр на произвольную тройку остаётся составным.
б) Существует ли такое 1997-значное число?
|
|
Решение |
Задача 109192 |
|
|
Обёрткой плоской картины размером 1×1 назовём прямоугольный лист бумаги площади 2, которым можно, не разрезая его, полностью обернуть картину с обеих сторон. Например, прямоугольник 2×1 и квадрат со стороной – обёртки.
а) Докажите, что есть и другие обёртки.
б) Докажите, что обёрток бесконечно много.
|
|
|
Решение |
Задача 109658 |
|
|
В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.
|
|
|
Решение |
Задача 109878 |
|
|
Можно ли в таблице 11×11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?
|
|
|
Решение |
Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 319]
