Все авторы
>>
Гальперин Г.А. 
Григорий Александрович Гальперин - российский и американский математик, автор популярных книг "Московские математические олимпиады" и "Математические бильярды".
Фильтр
Выбрано 3 задачи Убрать все задачи
На стороне BC ромба ABCD выбрана точка M. Прямые, проведённые через M перпендикулярно диагоналям BD и AC, пересекают прямую AD в точках P и Q соответственно. Оказалось, что прямые PB, QC и AM пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение BM : MC?
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Прямые AC и BC вторично пересекают окружность, проходящую через точки A, O и B, в точках E и K. Докажите, что прямые OC и EK перпендикулярны.
Учитель продиктовал классу задание, которое каждый ученик выполнил в своей тетради. Вот это задание:
Нарисуйте две концентрические окружности радиусов 1 и 10. К малой окружности проведите три касательные так, чтобы их точки пересечения A, B и C лежали внутри большой окружности. Измерьте площадь S треугольника ABC и площади SA, SB и SC трёх образовавшихся криволинейных треугольников с вершинами в точках A, B и C. Найдите SA + SB + SC – S.
Докажите, что у всех учеников (если они правильно выполнили задание) получились одинаковые результаты.
Все задачи автора Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 82]
Задача 65819 |
|
|
Дан отрезок длины Можно ли построить циркулем и линейкой (на которой нет делений) отрезок длины 1?
|
|
Решение |
Задача 65841 |
|
|
Имеется выпуклый многогранник со 100 рёбрами. Все его вершины срезали плоскостями-ножами близко от самих вершин (то есть так, чтобы плоскости-ножи не пересекались друг с другом внутри или на границе многогранника). Найдите у полученного многогранника
a) число вершин;
б) число рёбер.
|
|
|
Решение |
Задача 66173 |
|
|
a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.
б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.
|
|
|
Решение |
Задача 66333 |
|
|
Имеется железная гиря в 6 кг, сахар и невесомые пакеты в неограниченном количестве, а также нестандартные весы с двумя чашами: весы находятся в равновесии, если грузы на левой и правой чашах относятся как 3 : 4. За одно взвешивание можно положить на весы любые уже имеющиеся грузы и добавить на одну из чаш пакет с таким количеством сахара, чтобы чаши уравновесились (такие пакеты с сахаром можно использовать при дальнейших взвешиваниях). Удастся ли отмерить 1 кг сахара?
|
|
|
Решение |
Задача 66835 |
|
|
Отрезки $AA', BB'$ и $CC'$ с концами на сторонах остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку $P$. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что $P$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$.
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 82]
