Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Докажите, что середины четырех общих касательных к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой.
б) Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя окружностями проведена прямая. Докажите, что окружности высекают на этой прямой равные хорды.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64400

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.
Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65939

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

  На плоскости даны три прямые l₁, l₂, l₃, образующие треугольник, и отмечена точка O – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки X плоскости обозначим через X_i точку, симметричную точке X относительно прямой l_i,  i = 1, 2, 3.
  а) Докажите, что для произвольной точки M прямые, соединяющие середины отрезков O₁O₂ и M₁M₂, O₂O₃ и M₂M₃, O₃O₁ и M₃M₁, пересекаются в одной точке.
  б) Где может лежать эта точка пересечения?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66259

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

В точке X сидит преступник, а три полицейских, находящихся в точках A, B и C, блокируют его, то есть точка X лежит внутри треугольника ABC. Новый полицейский сменяет одного из них следующим образом: он занимает точку, равноудаленную от всех трёх полицейских, после чего один из троих уходит, и оставшаяся тройка по-прежнему блокирует преступника. Так происходит каждый вечер. Может ли случиться, что через какое-то время полицейские вновь займут точки A, B и C (известно, что точка X ни разу не попала на сторону треугольника)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103940

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Проективные преобразования прямой ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110753

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Точки A', B', C' – основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром B и радиусом BB' пересекает прямую A'C' в точках K и L (точки K и A лежат по одну сторону от BB'). Докажите, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на прямой BO, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями