Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Васильев Н.Б.

Николай Борисович Васильев(1940-1998) - математик, многолетний руководитель "Задачника Кванта", ведущий методист Всесоюзной заочной математической школы, в 1958-1979 - активнейший член жюри Московской, Всероссийской и Всесоюзной олимпиад, один из организаторов Турнира городов, автор книг "Задачи всесоюзных математических олимпиад", "Заочные математические олимпиады", "Прямые и кривые", "Математические соревнования. Геометрия".

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На числовой оси отмечено бесконечно много точек с натуральными координатами. Когда по оси катится колесо, каждая отмеченная точка, по которой проехало колесо, оставляет на нём точечный след. Докажите, что можно выбрать такое действительное $R$, что если прокатить по оси, начиная из нуля, колесо радиуса $R$, то на каждой дуге колеса величиной в $1^\circ$ будет след хотя бы одной отмеченной точки.

Вниз   Решение


Найдите все такие натуральные n, что при некоторых взаимно простых x и y и натуральном  k > 1,  выполняется равенство  3n = xk + yk.

ВверхВниз   Решение


Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники.
Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).

ВверхВниз   Решение


На доске написано n выражений вида  *x² + *x + * = 0  (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

ВверхВниз   Решение


На прямоугольном столе разложено несколько одинаковых квадратных листов бумаги так, что их стороны параллельны краям стола (листы могут перекрываться). Докажите, что можно воткнуть несколько булавок таким образом, что каждый лист будет прикреплен к столу ровно одной булавкой.

ВверхВниз   Решение


Посреди пустого бассейна стоит квадратная платформа 50 × 50 сантиметров, расчерченная на клеточки 10× 10 см. На клетки платформы Лена ставит башенки из кубиков 10× 10× 10 см. Потом Таня включает воду.

Если высоты башенок были такие, как в таблице справа, то при уровне воды 5 см был 1 остров, при уровне воды 15 см было два острова (если острова «граничат по углу», то считаются отдельными островами), а при уровне воды 25 см все башенки оказались закрыты водой и стало 0 островов.

Придумайте, какие башенки из кубиков можно поставить, чтобы количество островов было следующим:

Уровень воды (см) 515253545
Количество островов25250

В ответе напишите в каждой клетке квадрата 5 на 5, сколько кубиков на ней стоит.

ВверхВниз   Решение


В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?

ВверхВниз   Решение


Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 1991?

Вверх   Решение

Все задачи автора

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      



Задача 98045

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость xOy графики 100 квадратных трехчлёнов вида
y = anx² + bnx + cn  (n = 1, 2, ..., 100)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98118

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 1991?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108009

Темы:   [ Треугольник (построения) ]
[ Подерный (педальный) треугольник ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ ГМТ и вписанный угол ]
[ Метод ГМТ ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108595

Темы:   [ Перегруппировка площадей ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Внутри квадрата ABCD лежит квадрат PQRS. Отрезки AP, BQ, CR и DS не пересекают друг друга и стороны квадрата PQRS.
Докажите, что сумма площадей четырёхугольников ABQP и CDSR равна сумме площадей четырёхугольников BCRQ и DAPS.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55247

Темы:   [ Неравенства с биссектрисами ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Две стороны треугольника равны 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .