Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вадик написал название своего родного города и все его циклические сдвиги (перестановки по кругу), получив таблицу 1. Затем, упорядочив эти ''слова'' по алфавиту, он составил таблицу 2 и выписал её последний столбец: ВКСАМО.

Саша сделал то же самое с названием своего родного города и получил ''слово'' МТТЛАРАЕКИС. Что это за город, если его название начинается с буквы С?

   Решение

---

На батоне колбасы нарисованы тонкие поперечные кольца. Если разрезать по красным кольцам, получится 5 кусков, если по желтым — 7 кусков, а если по зеленым — 11 кусков. Сколько кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трёх цветов?

   Решение

---

Вдоль дорожки между домиками Незнайки и Синеглазки росли в ряд цветы: 15 пионов и 15 тюльпанов вперемешку. Отправившись из дома в гости к Незнайке, Синеглазка поливала все цветы подряд. После 10-го тюльпана вода закончилась, и 10 цветов остались не политыми. Назавтра, отправившись из дома в гости к Синеглазке, Незнайка собирал для неё все цветы подряд. Сорвав 6-й тюльпан, он решил, что для букета достаточно. Сколько цветов осталось расти вдоль дорожки?

   Решение

---

Рассматриваются 2000 чисел: 11, 101, 1001, ... . Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.

   Решение

---

Найдите все целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению  x⁴ – 2y² = 1.

   Решение

---

Отрезки AB и CD лежат на двух сторонах угла BOD (A лежит между O и B, C – между O и D). Через середины отрезков AD и BC проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках M и N (M, A и B лежат на одной стороне угла; N, C и D – на другой). Докажите, что
OM : ON = AB : CD.

   Решение

---

Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого  P(x) + P(1 – x) ≡ 1.

   Решение

---

Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50. Докажите, что N чётно.

   Решение

---

В четырёхугольнике ABCD угол B равен 150°, угол C прямой, а стороны AB и CD равны.
Найдите угол между стороной BC и прямой, проходящей через середины сторон BC и AD.

   Решение

---

Сережа нарисовал треугольник ABC и провёл в нем медиану AD. Затем он сообщил Илье, какова в этом треугольнике длина медианы AD и какова длина стороны AC. Илья, исходя из этих данных, доказал утверждение: угол CAB тупой, а угол DAB острый. Найдите отношение  AD : AC  (и докажите для любого треугольника с таким отношением утверждение Ильи).

   Решение

---

На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116242

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип Дирихле ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66867

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан равносторонний треугольник со стороной $d$ и точка $P$, расстояния от которой до вершин треугольника равны положительным числам $a$, $b$ и $с$. Докажите, что найдётся равносторонний треугольник со стороной $a$ и точка $Q$, расстояния от которой до вершин этого треугольника равны $b$, $с$ и $d$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями