Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]

Задача 64774

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Ивлев Ф., Нилов Ф.

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что PQ = ^AC/₂. Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65203

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Композиции симметрий	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

На основании AC равнобедренного треугольника ABC взяли произвольную точку X, а на боковых сторонах – точки P и Q так, что XPBQ – параллелограмм. Докажите, что точка Y, симметричная точке X относительно PQ, лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67209

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
Темы:	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Ивлев Ф., Марданов А.

На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $\angle BED = 3\angle BDE$ . Точка $D'$ симметрична точке $D$ относительно прямой $AC$ . Докажите, что прямая $D'E$ проходит через точку пересечения биссектрис треугольника $ABC$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 66345

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Дан треугольник $ABC$ . Пусть $I$ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$ , а $A_1$ и $B_1$ – точки касания двух других вневписанных окружностей со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ – середина отрезка $IC$ , а отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $N$ . Докажите, что точки $N$ , $B_1$ , $A$ и $M$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 66883

Тема:

[

Свойства коэффициентов многочлена

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен $x^n - a x^{n-1} + bx^{n-2} + \ldots$ имеет $n$ натуральных корней, то на плоскости найдутся $a$ прямых, у которых ровно $b$ точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]