Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 79]

Задача 65469

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Теорема Пика	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66015

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Акопян А.В., Кожевников П.А.

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ касается ω. Окружность Ω_b с центром P проходит через вершину B, а окружность Ω_c с центром Q – через C. Докажите, что окружности Ω, Ω_b и Ω_c имеют общую точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66199

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Уравнения высших степеней (прочее)	]
	[	Производная и экстремумы	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Пусть f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение f(x) = a при любом значении a имеет чётное число решений?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66269

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

В треугольнике ABC I и I_a – центры вписанной и вневписанной окружностей, A' точка описанной окружности, диаметрально противоположная A, AA₁ – высота. Докажите, что ∠IA'I_a = ∠IA₁I_a.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66310

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Кожевников П.А.

Пусть BH_b, CH_c – высоты треугольника ABC. Прямая H_bH_c пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точках X и Y. Точки P и Q симметричны X и Y относительно AB и AC соответственно. Докажите, что PQ || BC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 79]