Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 79]

Задача 116952

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

Три попарно непересекающиеся окружности ω_x, ω_y, ω_z радиусов r_x, r_y, r_z лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ, r_x = r_z = r, а r_y > r. Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_x и ω_y, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_y и ω_z. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64452

Темы:	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

В окружность вписан 101-угольник. Из каждой его вершины опустили перпендикуляр на прямую, содержащую противоположную сторону.
Докажите, что хотя бы у одного из перпендикуляров основание попадёт на сторону (а не на её продолжение).

Прислать комментарий

Решение

Задача 64470

Темы:	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Точки Брокара	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кожевников П.А., Расторгуев В.

а) В треугольник ABC вписаны треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ так, что C₁A₁ ⊥ BC, A₁B₁ ⊥ CA, B₁C₁ ⊥ AB, B₂A₂ ⊥ BC, C₂B₂ ⊥ CA,
A₂C₂ ⊥ AB. Докажите, что эти треугольники равны.

б) Внутри треугольника ABC взяли точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ так, что A₁ - на отрезке AB₁, B₁ - на отрезке BC₁, C₁ – на отрезке CA₁, A₂ – на отрезке AC₂, B₂ – на отрезке BA₂, C₂ – на отрезке CB₂ и углы BAA₁, CBB₁, ACC₁, CAA₂, ABB₂, BCC₂ равны. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65398

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Свойства сечений	]
	[	Центр масс	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Авторы: Берлов С.Л., Заславский А.А., Кожевников П.А.

У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с общим ребром AB) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром CD). Докажите, что середины рёбер BC, AD, AC и BD лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66312

Темы:	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Перестройки	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Кожевников П.А.

На каждой из двух параллельных прямых a и b отметили по 50 точек.
Каково наибольшее возможное количество остроугольных треугольников с вершинами в этих точках?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 79]