Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 81]
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом
целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из
чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное
количество составных чисел.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 10,11
|
В пространстве дан треугольник ABC и сферы S1 и S2, каждая из которых проходит через точки A, B и C. Для точек M сферы S1, не лежащих в плоскости треугольника ABC, проводятся прямые MA, MB и MC, пересекающие сферу S2 вторично в точках A1, B1 и C1 соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки A1, B1 и C1, касаются фиксированной сферы либо проходят через фиксированную точку.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Углы AOB и COD совмещаются поворотом так, что луч OA совмещается с лучом OC, а луч OB – с OD. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках E и F. Доказать, что углы AOE и DOF равны.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Пете и Васе подарили одинаковые наборы из N гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение N.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11
|
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$ и $BH_B$. Прямая $H_AH_B$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно $BC$, точка $B'$ симметрична точке $B$ относительно $CA$. Докажите, что $A', B'$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 81]