Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что  PQ = ^AC/₂.  Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.

   Решение

Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен $x^n - a x^{n-1} + bx^{n-2} + \ldots $ имеет $n$ натуральных корней, то на плоскости найдутся $a$ прямых, у которых ровно $b$ точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон?

   Решение

Даны 1000 линейных функций:  f_k(x) = p_kx + q_k  (k = 1, 2, ..., 1000).  Нужно найти значение их композиции  f(x) = f₁(f₂(f₃(...f₁₀₀₀(x)...)))  в точке x₀. Докажите, что это можно сделать не более чем за 30 стадий, если на каждой стадии можно параллельно выполнять любое число арифметических операций над парами чисел, полученных на предыдущих стадиях, а на первой стадии используются числа  p₁, p₂, ..., p₁₀₀₀,  q₁, q₂, ..., q₁₀₀₀,  x₀.

   Решение

Дан треугольник ABC,  O – центр его описанной окружности. Проекции точек D и X на стороны треугольника лежат на прямых l и L, причём
l || XO.  Докажите, что прямая L образует равные углы с прямыми AB и CD.

   Решение

Докажите, что в неравнобедренном треугольнике одна из окружностей, касающихся вписанной и описанной окружностей внутренним, а одной из вневписанных внешним образом, проходит через вершину треугольника.

   Решение

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен  (ax + b)¹⁰⁰⁰ – (cx + d)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.

   Решение

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle B=\angle D$. Докажите, что середина диагонали $BD$ лежит на общей внутренней касательной к окружностям, вписанным в треугольники $ABC$ и $ACD$.

   Решение

На рисунке можно найти 9 прямоугольников. Известно, что у каждого из них длина и ширина – целые.
Сколько прямоугольников из этих девяти могут иметь нечётную площадь?

   Решение

Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором  AE || CD  и  $AB = BC$.  Биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что  BK || AE.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 151]      

Дан правильный треугольник ABC. На стороне AB отмечена точка K, на стороне BC — точки L и M (L лежит на отрезке BM) так, что KL = KM, BL = 2, AK = 3. Найдите CM.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли внутри правильного пятиугольника разместить отрезок, который из всех вершин виден под одним и тем же углом?

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.

Прислать комментарий

Решение

В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят ровно три фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке?

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором  AE || CD  и  $AB = BC$.  Биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что  BK || AE.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 151]