Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]

Задача 67111

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Точка $M$ – середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$ . Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точке $E$ . Пусть $ED$ пересекает $\omega_1$ в точке $F$ , а $FB$ пересекает $AD$ в $G$ . Докажите, что $GM$ – биссектриса угла $BGD$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 67122

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$ , причем $AD = AE = EB$ . На отрезке $CE$ отметили точку $F$ , так что $ED = CF$ . Биссектриса угла $AFC$ пересекает дугу $DAC$ в точке $P$ . Докажите, что точки $A$ , $E$ , $F$ и $P$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 66969

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
Темы:	[	Геометрическая прогрессия	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Ивлев Ф., Марданов А.

Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.

Прислать комментарий Решение

Задача 67113

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$ . Пусть $P$ – точка пересечения его диагоналей, а точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность $OPM$ вторично пересекает отрезки $AP$ и $BP$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно, а окружность $OPN$ вторично пересекает отрезки $CP$ и $DP$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 67120

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Средняя линия, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$ , пересекает его описанную окружность в точках $X$ и $Y$ . Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$ , а $D$ – середина дуги $AC$ , не содержащей точку $B$ . На отрезке $DI$ отметили точку $L$ такую, что $DL=BI/2$ . Докажите, что из точек $X$ и $Y$ отрезок $IL$ виден под равными углами.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]