Найдите суммы
  а)   1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
  б)   S_n,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).

   Решение

В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
  а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
  б) Докажите, что можно взять  c = 4.
  в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для  c = 3.
  г) Постройте пример, показывающий, что при  c > 3  утверждение неверно.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  |PQ| = |QR|.

Прислать комментарий

Решение

Найдите все такие натуральные  (a, b),  что a² делится на натуральное число  2ab² – b³ + 1.

Прислать комментарий

Решение

Пусть  $x_1 \le \dots \le x_n$.  Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Прислать комментарий

Решение

Дано 101-элементное подмножество A множества  S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых  t₁, ..., t₁₀₀  из S множества   A_j = {x + t_j | x ∈ A;  j = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида  n^p – p  не делятся на q.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]