Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

   Решение

---

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73766  (#М231)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Решите в натуральных числах уравнение  n^x + n^y = n^z.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73767  (#М232)

Темы:   [ Системы точек ] [ Неравенства с углами ] [ Метод ГМТ ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.

б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79261  (#М233)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Последовательности (прочее) ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Алгоритм Евклида ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73769  (#М234)

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Перегруппировка площадей ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вычисление площадей ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10

Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79267  (#М235)

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Ломаные ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 километров.
Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями