Версия для печати
Убрать все задачи

---

В токарном цехе вытачиваются детали из стальных заготовок, из одной заготовки — деталь. Стружки, оставшиеся после обработки трех заготовок можно переплавить и получить ровно одну заготовку. Сколько всего деталей можно сделать из 9-ти заготовок? А из 14-ти? Сколько нужно взять заготовок, чтобы получить 40 деталей?

   Решение

---

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁, C₁ на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A₁B² + C₁A² + B₁C² = B₁A² + A₁C² + C₁B² (теорема Карно).

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109808  (#04.5.9.1)

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Раскраски ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109809  (#04.5.9.2)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Описанные четырехугольники ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109810  (#04.5.9.3)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков– белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какие-нибудь две коробочки, в которых лежат белые шарики?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109811  (#04.5.9.4)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Даны натуральное число  n > 3  и положительные числа x₁, x₂, ..., x_n, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109812  (#04.5.9.5)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Иррациональные неравенства ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что  m + n = p + q  и  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями