Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 г, а все остальные – по 100 г. Двумя взвешиваниями на весах со стрелкой определите все 99-граммовые детали.

Вниз   Решение


В правильную четырёхугольную пирамиду SABCD ( S – вершина) вписана сфера. Сторона основания пирамиды равна 8, а высота пирамиды равна 3. Точка M – середина ребра SD , а точка K является ортогональной проекцией точки M на плоскость ABCD . Через точку M проведена касательная к сфере, пересекающая плоскость ASC в точке N , причём NMK = arccos (-) . Найдите NM .

ВверхВниз   Решение


Как определить функцию  ln z  для комплексного аргумента z?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC  AB = a,  AC = b,  точка O – центр описанной окружности. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

ВверхВниз   Решение


Точки X' и Y' – образы точек X и Y при инверсии относительно окружности с центром O радиуса R, причём точки X и Y отличны от O.
Докажите, что  X'Y' = XY· .

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      



Задача 61331  (#09.081)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   xn+1 = xn = .  Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61332  (#09.082)

Темы:   [ Производная и касательная ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Метод Ньютона (см. задачу 9.77) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения f (x) = 0. Для многочлена f (x) = x(x - 1)(x + 1) найдите начальное условие x0 такое, что f (x0)$ \ne$x0 и x2 = x0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61333  (#09.083)

 [Метод Лобачевского]
Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Итерации ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть многочлен  P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0  имеет корни  x1, x2, ..., xn,  причем  |x1| > |x2| > ... > |xn|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P0(x), P1(x), P2(x), ...,  что  P0(x) = P(x)  и многочлен Pk(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61334  (#09.084)

 [Метод Лобачевского и числа Люка]
Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Итерации ]
[ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу 61333) применить для приближенного нахождения корней многочлена  x² – x – 1.  Какие последовательности будут сходиться к корням x1 и x2, если  |x1| > |x2|?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61335  (#09.085)

 [Метод Архимеда]
Темы:   [ Окружности (прочее) ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через Pn (для описанного) и pn (для вписанного).
   а) Найдите P4, p4, P6 и p6.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P2n = ,        p2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P96 и p96. Докажите неравенства   310/71 < π < 31/7.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .