Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97948

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В центре квадратного бассейна находится мальчик, а в вершине на берегу стоит учительница. Максимальная скорость мальчика в воде в три раза меньше максимальной скорости учительницы на суше. Учительница плавать не умеет, а на берегу мальчик бегает быстрее учительницы. Сможет ли мальчик убежать?

Решение

Будем считать, что сторона квадрата ABCD равна 2. Пусть учительница находится в вершине C. Мальчик плывёт к A, пока учительница не добежит до середины стороны CD (CB). После этого мальчик плывёт по перпендикуляру к AB (AD). Мальчику осталось до берега проплыть расстояние не больше 1, а учительницы придётся пробежать больше чем полторы стороны квадрата, то есть больше 3.

Ответ

Сможет.

Прислать комментарий

---

Задача 97962

Темы:   [ Правило произведения ] [ Десятичная система счисления ] [ Сочетания и размещения ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?

Решение

  Количество десятизначных чисел, представимых в виде произведения двух пятизначных, не больше количества всех пар пятизначных чисел (с учетом пар одинаковых чисел). (На самом деле их значительно меньше: во-первых, не все произведения, двух пятизначных чисел будут десятизначными, во-вторых, разные пары чисел могут дать одно и то же произведение.) Поэтому достаточно проверить, что количество пар пятизначных чисел меньше половины количества десятизначных чисел.

  Первый способ. Всего десятизначных чисел 9·10⁹ (см. решение задачи 60336), а удвоенное количество пар пятизначных чисел
равно   9·10⁴ (9·10⁴ + 1) = 81·10⁸ + 9·10⁴ < 9·10⁹.
  Второй способ. Каждой паре  (A, B)  двух различных пятизначных чисел можно поставить в соответствие два десятизначных числа    и    (записав их друг за другом). Каждой паре вида  (A, B)  также поставим в соответствие два числа:    и  
  Заметим, что так получаются не все десятизначные числа: число 1111101111 так получить нельзя. Поэтому пар пятизначных чисел меньше половины количества десятизначных.

Ответ

Больше непредставимых.

Прислать комментарий

---

Задача 97964

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

a, b и c – целые числа. Докажите, что если  a = b + c,  то  a⁴ + b⁴ + c⁴  есть удвоенный квадрат целого числа.

Решение

a² – 2bc = b² + c². Поэтому   a⁴ + b⁴ + c⁴ = a⁴ + (a² – 2bc)² – 2b²c² = 2a⁴ – 4a²bc + 2b²c² = 2(a² – bc)².

Прислать комментарий

---

Задача 97966

Темы:   [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ] [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Решите систему уравнений:
   (x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁,
   (x₄ + x₅ + x₁)⁵ = 3x₂,
   (x₅ + x₁ + x₂)⁵ = 3x₃,
   (x₁ + x₂ + x₃)⁵ = 3x₄,
   (x₂ + x₃ + x₄)⁵ = 3x₅.

Решение

Система симметрична относительно циклических перестановок, поэтому можно считать, что x₁ – наибольшее из пяти чисел. Тогда (поскольку функция  f(x) = x⁵  возрастающая),  3x₂ = (x₄ + x₅ + x₁)⁵ ≥ (x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁ ≥ 3x₂,  значит,  x₂ = x₁.  Аналогично доказывается, что все числа равны. Осталось решить уравнение  (3x)⁵ = 3x.

Ответ

Три решения:  (0, 0, 0, 0, 0),  (± ⅓,  ± ⅓,  ± ⅓,  ± ⅓,  ± ⅓).

Прислать комментарий

---

Задача 108024

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Построения ] [ Медиана делит площадь пополам ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Дана выпуклая фигура, ограниченная дугой A окружности и ломаной ABC так, что дуга и ломаная лежат по разные стороны от хорды AC.
Через середину дуги AC проведите прямую, делящую площадь фигуры пополам.

Подсказка

Пусть M – середина дуги AC, а N – середина отрезка AC. Через точку N проведите прямую, параллельную BM.

Решение

Пусть M – середина дуги AC, а N – середина отрезка AC. Если  AB = BC,  то подойдёт прямая MB. Предположим, что  AB < BC.  Тогда ломаная BNM делит площадь рассматриваемой фигуры пополам. Построим на отрезке BC такую точку P, что  PN || BM.  Так как  S_BNM = S_BPM,  то отрезок MP также делит площадь нашей фигуры пополам.

Прислать комментарий

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями