Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Пусть $P$ – точка пересечения его диагоналей, а точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность $OPM$ вторично пересекает отрезки $AP$ и $BP$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно, а окружность $OPN$ вторично пересекает отрезки $CP$ и $DP$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ равны.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели биссектрисы AK и BN, на которые опустили перпендикуляры CD и CE из вершины прямого угла. Докажите, что длина отрезка DE равна радиусу вписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали трапеции ABCD перпендикулярны. Точка M – середина боковой стороны AB, точка N симметрична центру описанной окружности треугольника ABD относительно прямой AD. Докажите, что ∠CMN = 90°.

Прислать комментарий

Решение

 Фиксированы окружность, точка A на ней и точка K вне окружности. Секущая, проходящая через K, пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что ортоцентры треугольников APQ лежат на фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка M. В треугольнике ACM точка I₁ – центр вписанной, J₁ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. В треугольнике BCM точка I₂ – центр вписанной, J₂ центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков I₁I₂ и J₁J₂ перпендикулярна AB.

Прислать комментарий

Решение

На поверхности равногранного тетраэдра сидят два муравья. Докажите, что они могут встретиться, преодолев в сумме расстояние, не превосходящее диаметра окружности, описанной около грани тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]