Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано простое число p. Назовём треугольник разрешённым, если все его углы имеют вид  ^m/_p·180°,  где m целое. Одинаковыми будем считать разрешённые треугольники с одинаковым набором углов (то есть подобные). Вначале дан один разрешённый треугольник. Каждую минуту один из имеющихся треугольников разрезают на два разрешённых так, чтобы после разрезания все имеющиеся треугольники были разными. Спустя некоторое время оказалось, что ни один из треугольников так разрезать нельзя. Докажите, что к этому моменту среди имеющихся частей есть все возможные разрешённые треугольники.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98313

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98327

Темы:   [ Раскраски ] [ Куб ] [ Наглядная геометрия в пространстве ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98334

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Барон Мюнхаузен утверждает, что пустил шар от борта бильярда, имеющего форму правильного треугольника, так, что тот, отражаясь от бортов, прошёл через некоторую точку три раза в трёх различных направлениях и вернулся в исходную точку. Могут ли слова барона быть правдой? (Отражение шара от борта происходит по закону "угол падения равен углу отражения".)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98314

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98333

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Сколько целых чисел от 1 до 1997 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями