Версия для печати
Убрать все задачи

---

Последовательность чисел a₁, a₂,..., a_n... образуется следующим образом:

Доказать, что все числа в последовательности — целые.

   Решение

---

На доске выписаны числа 1, 2, ..., 100. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестёртых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число 1. Какие числа будут стёрты на последнем этапе?

   Решение

---

На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD отмечены точки P и Q так, что прямая PQ параллельна AD, а отрезок PQ делится диагоналями трапеции на три равные части. Найдите длину оонования BC, если известно, что  AD = a,  PQ = m,  а точка пересечения диагоналей трапеции лежит внутри четырёхугольника BPCQ.

   Решение

---

Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек).
Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60985  (#06.062)  [Правило знаков Декарта]

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что количество положительных корней многочлена  f(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  не превосходит числа перемен знака в последовательности  a_n, ..., a₁, a₀.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60986  (#06.063)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена  f(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60987  (#06.064)

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Докажите, что многочлен  a³(b² – c²) + b³(c² – a²) + c³(a² – b²)  делится на  (b – c)(c – a)(a – b).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60988  (#06.065)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Алгоритм Евклида ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите, что из равенства  P(x) = Q(x)T(x) + R(x)  следует соотношение  (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60989  (#06.066)  [Алгоритм Евклида для многочленов]

Темы:   [ Алгоритм Евклида ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором  s ≥ 1  существуют такие многочлены  A₀(x), A₁(x), ..., A_s(x)  и  R₁(x), ..., R_s(x),  что  degQ(x) > degR₁(x) > degR₂(x) > ... > degR_s(x) ≥ 0,
    P(x) = Q(x)A₀(x) + R₁(x),
    Q(x) = R₁(x)A₁(x) + R₂(x),
    R₁(x) = R₂(x)A₂(x) + R₃(x),
      ...
    R_s–2(x) = R_s–1(x)A_s–1(x) + R_s(x),
    R_s–1(x) = R_s(x)A_s(x)
и  (P(x), Q(x)) = R_s(x).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями