Страница:
<< 3 4 5 6 7 8
9 >> [Всего задач: 45]
Пусть 
= 
, где – несократимая дробь.
Докажите, что неравенство bn+1 < bn выполнено для бесконечного числа натуральных n.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что лучи A1A, B1B и С1C являются биссектрисами углов треугольника
A1B1C1. Докажите, что AA1, BB1 и СС1 – высоты треугольника ABC.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
От правильного октаэдра со стороной 1 отрезали шесть углов – пирамидок с квадратным основанием и ребром ⅓. Получился многогранник, грани которого – квадраты и правильные шестиугольники. Можно ли копиями такого многогранника замостить пространство?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
В квадрате 3×3 расставлены числа (см. рис.). Известно, что
квадрат магический: сумма чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой
диагонали одна и та же. Докажите, что
а) 2(a + c + g + i) = b + d + f + h + 4e.
б) 2(a³ + c³ + g³ + i³) = b³ + d³ + f ³ + h³ + 4e³.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
У ведущего есть колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (при этом не уточняя сверху вниз или снизу вверх). Разрешается задавать ведущему вопросы вида "Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?". Один из зрителей подсмотрел, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее число вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители по ответам на эти вопросы могли узнать порядок карт в колоде?
Страница:
<< 3 4 5 6 7 8
9 >> [Всего задач: 45]
Фильтр
