В гандбольном турнире в один круг (победа – 2 очка, ничья – 1 очко, поражение – 0) приняло участие 16 команд. Все команды набрали разное количество очков, причём команда, занявшая седьмое место, набрала 21 очко. Докажите, что победившая команда хотя бы один раз сыграла вничью.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 64]      

а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше 1/9.
б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее 1/9.

Прислать комментарий

Решение

Прожектор освещает угол величиной 90^o. Докажите, что в любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так, что они осветят всю плоскость.

Прислать комментарий

Решение

Длина проекции фигуры на любую прямую не превосходит 1. Верно ли, что можно накрыть кругом диаметра: а) 1; б) 1,5?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что любые n точек на плоскости всегда можно накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма их диаметров меньше n и расстояние между любыми двумя из них больше 1.

Прислать комментарий

Решение

На круглом столе радиуса R расположено без наложений n круглых монет радиуса r, причем больше нельзя положить ни одной монеты. Докажите, что R/r2 + 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 64]