Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64884  (#21)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Вспомогательная окружность ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω₁ треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E₁ и F₁. Докажите, что прямые EF и E₁F₁ параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64885  (#22)

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Существует ли выпуклый многогранник, у которого есть диагонали и каждая диагональ меньше любого ребра?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64886  (#23)

Темы:   [ Проективная геометрия (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Касающиеся сферы и инверсия ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 11

Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть  AB·CD = AC·BD = AD·BC).  Пусть A₁ – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A₁, B, C и D тригармоническая. Точки B₁, C₁ и D₁ определяются аналогично. Докажите, что
  a) A, B, C₁, D₁ лежат на одной окружности;
  б) точки A₁, B₁, C₁, D₁ образуют тригармоническую четвёрку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64887  (#24)

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Проективные преобразования пространства ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 11

Дана описанная четырёхугольная пирамида ABCDS. Противоположные стороны основания пересекаются в точках P и Q, причём точки A и B лежат на отрезках PD и PC. Вписанная сфера касается боковых граней ABS и BCS в точках K и L. Докажите, что если прямые PK и QL пересекаются, то точка касания сферы и основания лежит на отрезке BD.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями