ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 64874  (#11)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Две пары подобных треугольников ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Точки K, L, M и N на сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD образуют еще один квадрат. DK пересекает NM в точке E, а KC пересекает LM в точке F.
Докажите, что  EF || AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64875  (#12)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B. Точки K1 и K2 на ω1 и ω2 соответственно таковы, что K1A касается ω2, а K2A касается ω1. Описанная окружность треугольника K1BK2 пересекает вторично прямые AK1 и AK2 в точках L1 и L2 соответственно. Докажите, что точки L1 и L2 равноудалены от прямой AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64876  (#13)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

На окружности ω c центром O фиксированы точки A и C. Точка B движется по дуге AC. Точка P – фиксированная точка хорды AC. Прямая, проходящая через P параллельно AO, пересекает прямую BA в точке A1; прямая, проходящая через P параллельно CO, пересекает прямую BC в точке C1. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A1BC1 движется по прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64877  (#14)

Темы:   [ Отношения площадей подобных фигур ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Постройте такое подмножество круга, площадью в половину площади круга, что его образ при симметрии относительно любого диаметра пересекается с ним по площади, равной четверти круга.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64878  (#15)

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В неравнобедренном треугольнике ABC высота из вершины A, биссектриса из вершины B и медиана из вершины C пересекаются в одной точке K.
  а) Какая из сторон треугольника средняя по величине?
  б) Какой из отрезков AK, BK, CK средний по величине?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .