Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, а две другие — на хорде или ее продолжении (рис.). Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

   Решение

Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объёмы чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 12.
Найдите объёмы белых параллелепипедов.

   Решение

Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?

   Решение

Решить в натуральных числах систему
   x + y = zt,
   z + t = xy.

   Решение

Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {a_n} имеет два различных корня x₁ и x₂. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

Число x таково, что обе суммы  S = sin 64x + sin 65x  и  C = cos 64x + cos 65x  – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.

Прислать комментарий

Решение

Остроугольный равнобедренный треугольник ABC  (AB = AC)  вписан в окружность с центром O. Лучи BO и CO пересекают стороны AC и AB в точках B' и C' соответственно. Через точку C' проведена прямая l, параллельная прямой AC. Докажите, что прямая l касается описанной окружности ω треугольника B'OC.

Прислать комментарий

Решение

На доске выписаны в ряд n положительных чисел a₁, a₂, ..., a_n. Вася хочет выписать под каждым числом a_i число  b_i ≥ a_i  так, чтобы для каждых двух из чисел b₁, b₂, ..., b_n отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство  b₁b₂...b_n ≤ 2^(n–1)/2a₁a₂...a_n.

Прислать комментарий

Решение

У фокусника и помощника есть колода с картами; одна сторона ("рубашка") у всех карт одинакова, а другая окрашена в один из 2017 цветов (в колоде по 1000000 карт каждого цвета). Фокусник и помощник собираются показать следующий фокус. Фокусник выходит из зала, а зрители выкладывают на стол в ряд  n > 1  карт рубашками вниз. Помощник смотрит на эти карты, а затем все, кроме одной, переворачивает рубашкой вверх, не меняя их порядка. Затем входит фокусник, смотрит на стол, указывает на одну из закрытых карт и называет её цвет. При каком наименьшем k фокусник может заранее договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Прислать комментарий

Решение

Пусть P(x) – многочлен степени  n ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа    также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]