Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье делится на 98, ..., последнее делится на 2?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66228  (#1)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Многоугольники (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Таня вырезала из бумаги выпуклый многоугольник и несколько раз его согнула так, что получился двухслойный четырёхугольник.
Мог ли вырезанный многоугольник быть семиугольником?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66229  (#2)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

В треугольнике ABC  O – центр описанной окружности, H – ортоцентр. Через середину OH параллельно BC проведена прямая, пересекающая стороны AB и AC в точках D и E. Оказалось, что O – центр вписанной окружности треугольника ADE. Найдите углы треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66230  (#3)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На стороне AD квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник AED. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр AF, на стороне CD выбрана точка G так, что  CG = DF.  Докажите, что угол BGE меньше половины угла AED.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66231  (#4)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В параллелограмме ABCD провели трисектрисы углов A и B. Трисектрисы, ближние к стороне AB, пересекаются в точке O. Обозначим пересечение трисектрисы AO со второй трисектрисой угла B через A₁, а пересечение трисектрисы BO со второй трисектрисой угла A через B₁. Пусть M – середина отрезка A₁B₁, а прямая MO пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что треугольник A₁B₁N – равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66232  (#5)

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. Две окружности, проходящие через вершину A, касаются стороны BC в точках B и C соответственно. Пусть D – вторая точка пересечения этих окружностей (A лежит ближе к BC, чем D). Известно, что  BC = 2BD.  Докажите, что  ∠DAB = 2∠ADB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями