Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на три многоугольника, один из которых должен быть тупоугольным треугольником, так, чтобы потом сложить из них прямоугольник. (Переворачивать части можно).

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67430  (#1)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Найдите все пары натуральных чисел $m$ и $n$, для которых $m!! = n!$. (Двойной факториал $m!!$ – это произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $m$ и имеющих ту же чётность, что $m$. Например, 5!! = 15, 6!! = 48).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67431  (#2)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Наглядная геометрия в пространстве ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В пространстве расположили конечный набор кругов радиуса $1$. Круги могут пересекаться друг с другом, но не проходят через центры друг друга. В центре каждого круга зажгли точечную лампочку, светящую во все стороны. Могло ли случиться, что любой луч света, выходящий из центра любого круга, упирается в какой-то другой круг?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67432  (#3)

Темы:   [ Оценка + пример ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В каждой клетке таблицы $N\times N$ записано число. Назовём клетку $C$ хорошей, если в какой-то из клеток, соседних с $C$ по стороне, стоит число на 1 больше, чем в $C$, а в какой-то другой из клеток, соседних с $C$ по стороне, стоит число на 3 больше, чем в $C$. Каково наибольшее возможное количество хороших клеток?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67433  (#4)

Темы:   [ Окружности (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Даны две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$. На отрезке $O_1O_2$ взяты точки $X$ и $Y$ так, что $O_1Y = O_2X$. Точки $A$ и $B$ лежат на $\omega_1$, и прямая $AB$ проходит через $X$. Точки $C$ и $D$ лежат на $\omega_2$, и прямая $CD$ проходит через $Y$. Докажите, что существует окружность, касающаяся прямых $AO_1$, $BO_1$, $CO_2$ и $DO_2$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67434  (#5)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Дан многочлен степени $n$ > 0 с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что у этого многочлена не может быть никаких других коэффициентов, кроме 1, –1 и –2.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями