Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XXI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2025 г.)
>>
9 класс
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
В треугольнике $ABC$ $BE$ и $CF$ – высоты, внутренние биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $I$, а внешние в точке $J$. Докажите, что $IJ > EF$.
Высоты $AA_1$, $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $A'$, $B'$ симметричны $A$, $B$ относительно $BB_1$, $AA_1$ соответственно. Докажите, что окружности девяти точек треугольников $A'B'C$ и $A'B'H$ касаются.
На плоскости отметили несколько точек и раскрасили их в четыре цвета так, что никакие три разноцветные точки не лежат на одной прямой и на любой окружности, проходящей через точки трех разных цветов, лежит еще ровно одна отмеченная точка, окрашенная в четвертый цвет. Обязательно ли все отмеченные точки лежат на одной окружности?
Дан треугольник $ABC$. На серединном перпендикуляре к отрезку $BC$ вне треугольника выбирается переменная точка $D$. Прямые $BD$ и $AC$ пересекаются в точке $C'$, а прямые $CD$ и $AB$ – в точке $B'$. Пусть $M_a$ – середина $BC$, $M$ – вторая точка пересечения окружностей $(BB'D)$ и $(CC'D)$. Докажите, что центр окружности $DMM_a$ лежит на фиксированной прямой.
Восстановите вписанно-описанный четырехугольник $ABCD$ по центру $I$ вписанной окружности, точке $E$ пересечения касательных к описанной окружности в точках $A$, $C$ и точке $F$ пересечения касательных к описанной окружности в точках $B$, $D$.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 67559 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67555 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67556 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67561 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67562 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
