Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 57]

Задача 73631 (#М96)

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Берколайко С.Т.

Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73632 (#М97)

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Розенталь А.Л.

В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A₁B₁, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции проведён отрезок A₂B₂, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков AB, A₁B₁, A₂B₂,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?

Прислать комментарий Решение

Задача 73633 (#М98)

Темы:	[	Доказательство от противного	]
	[	Обратный ход	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

а) Докажите, что в таблице

где каждое число равно сумме трёх стоящих над ним чисел, в каждой строке (начиная с третьей) есть чётное число.
б) В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, кратное 3?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73635 (#М100)

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]
	[	Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Бешкарев В.П.

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177° равна 45. Докажите это.

Прислать комментарий Решение

Задача 78786 (#М101)

Тема:

[

Процессы и операции

]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Ковтун Р.М.

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 57]