Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]

Задача 78243

Темы:	[	Псевдоскалярное произведение	]
Темы:	[	Вычисление площадей	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC и точка O. M₁, M₂, M₃ — центры тяжести треугольников OAB, OBC, OCA соответственно. Доказать, что площадь треугольника M₁M₂M₃ равна 1/9 площади ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 78255

Темы:	[	Векторы (прочее)	]
Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Известно, что Z₁ + ... + Z_n = 0, где Z_k — комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна 120^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 78262

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Средняя линия трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности с радиусами r₁, r₂, r₃, r₄, причём r₁ + r₃ = r₂ + r₄ < d; d — диагональ прямоугольника. Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и 2, 4. Доказать, что в четырёхугольник, образованный этими четырьмя прямыми, можно вписать окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 78264

Темы:	[	Векторы (прочее)	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Комплексные числа в геометрии	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Точки A и B движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям O₁ и O₂ соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина C правильного треугольника ABC также движется равномерно по некоторой окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 78240

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник A₀B₀C₀. Пусть точки A₁, B₁, C₁ — центры квадратов, построенных на сторонах B₀C₀, C₀A₀, A₀B₀. С треугольником A₁B₁C₁ делаем то же самое. Получаем треугольник A₂B₂C₂ и т.д. Доказать, что $\Delta$ A_{n + 1}B_{n + 1}C_{n + 1} пересекает $\Delta$ A_nB_nC_n ровно в 6 точках.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]