Версия для печати
Убрать все задачи

---

В окружность вписан 2n-угольник  A₁...A_2n. Пусть  p₁,..., p_2n — расстояния от произвольной точки M окружности до сторон  A₁A₂, A₂A₃,..., A_2nA₁. Докажите, что  p₁p₃...p_{2n - 1} = p₂p₄...p_2n.

   Решение

---

Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки.

   Решение

---

Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79489

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79494

Темы:   [ Неравенства с модулями ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Докажите, что система неравенств
    |x| > |y – z + t|,
    |y| > |x – z + t|,
    |z| > |x – y + t|,
    |t| > |x – y + z|
не имеет решений.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79497

Темы:   [ Неравенства с модулями ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Решите систему неравенств
    |x| < |y – z + t|,
    |y| < |x – z + t|,
    |z| < |x – y + t|,
    |t| < |x – y + z|.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79492

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что если     при  n = 2, ..., 10,  то  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79488

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Правило произведения ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями