Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98138  (#М1346)

Темы:   [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая ломаная (самопересекающаяся), содержащая 51 звено, причём известно, что длина каждого звена равна    .   Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат звенья ломаной, образующие этот угол (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше, чем утроенная площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98141  (#М1347)

Темы:   [ Взвешивания ] [ Метод спуска ] [ Отношение порядка ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 101-е место?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98130  (#М1348)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A₁B₁C₁, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC
(B₁C₁ || PA,  C₁A₁ || PB,  A₁B₁ || PC). Через точки A₁, B₁, C₁ проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98132  (#М1349)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Круг разбит на n секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек  n + 1.  Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98142  (#М1350)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Раскладки и разбиения ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Пусть n и b – натуральные числа. Через  V(n, b)  обозначим число разложений n на сомножители, каждый из которых больше b (например:
36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12,  так что  V(36, 2) = 5).  Докажите, что  V(n, b) < ⁿ/_b.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями