Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с AB. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

   Решение

---

Астролог считает, что 2013 год счастливый, потому что 2013 нацело делится на сумму  20 + 13.
Будет ли когда-нибудь два счастливых года подряд?

   Решение

---

В правильном (6n+1)-угольнике K вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.

   Решение

---

Клетки квадратной таблицы 15×15 раскрашены в красный, синий и зелёный цвета.
Докажите, что найдутся, по крайней мере, две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.

   Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 202]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 88312

Темы:   [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., 99, 100. Разрешается менять местами два числа, между которыми стоит ровно одно число.
Можно ли получить ряд 100, 99, 98, ..., 2, 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 88320

Темы:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102807  [Баба-Яга, Кащей и мухоморы]

Тема:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Баба-Яга и Кащей собрали некоторое количество мухоморов. Количество крапинок на мухоморах Бабы-Яги в 13 раз больше, чем на мухоморах Кащея, но после того, как Баба-Яга отдала Кащею свой мухомор с наименьшим числом крапинок, на её мухоморах стало крапинок только в 8 раз больше, чем у Кащея. Докажите, что в начале у Бабы-Яги было не более 23 мухоморов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102821

Темы:   [ Задачи на смеси и концентрации ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Имеются два сосуда емкостью 1 л и 2 л. Из содержимого приготовили 0,5 л смеси, содержащей 40% яблочного сока, и 2,5 л смеси, содержащей 88% яблочного сока. Каково процентное содержание яблочного сока в сосудах?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102844

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Раскраски ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Клетки квадратной таблицы 15×15 раскрашены в красный, синий и зелёный цвета.
Докажите, что найдутся, по крайней мере, две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 202]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями