На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живёт по 20 борцов. Был проведён турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня А считается сильнее деревни Б, если хотя бы k поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни А. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь k? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)

   Решение

Дан параллелограм ABCD. Прямая, параллельная AB, пересекает биссектрисы углов A и C в точках P и Q соответственно.
Докажите, что углы ADP и ABQ равны.

   Решение

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

   Решение

В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0 , B0 и C0 соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0 пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0 – равнобедренный.

   Решение

В треугольнике ABC на стороне AB выбраны точки K и L так, что AK = BL, а на стороне BC — точки M и N так, что CN = BM. Докажите, что KN + LM ≥ AC.

   Решение

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором  ∠B = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠PQB = 2∠PCQ.

   Решение

Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?

   Решение

В ячейки куба 11×11×11 поставлены по одному числа 1, 2, ..., 1331. Из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. Каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй – если отличается на 9. Существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика?

   Решение

Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?

   Решение

Найдите все простые числа р, для каждого из которых существует такое натуральное число m, что    – также натуральное число.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

Один градус шкалы Цельсия равен 1,8 градусов шкалы Фаренгейта, при этом 0° по Цельсию соответствует 32° по шкале Фаренгейта.
Может ли температура выражаться одинаковым числом градусов как по Цельсию, так и по Фаренгейту?

Прислать комментарий

Решение

Даны квадратные трёхчлены  f и g с одинаковыми старшими коэффициентами. Известно, что сумма четырёх корней этих трёхчленов
равна р. Найдите сумму корней трёхчлена  f + g, если известно, что он имеет два корня.

Прислать комментарий

Решение

Дан равносторонний треугольник АВС. Точка К – середина стороны АВ, точка М лежит на стороне ВС, причём  ВМ : МС = 1 : 3.  На стороне АС выбрана точка P так, что периметр треугольника РКМ – наименьший из возможных. В каком отношении точка Р делит сторону АС?

Прислать комментарий

Решение

Найдите все простые числа р, для каждого из которых существует такое натуральное число m, что    – также натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]