Версия для печати
Убрать все задачи

---

Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

---

Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9 × 9. Начинающий ставит крестики, его соперник - нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов - это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше - очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает.

   Решение

---

Имеется две кучки спичек: а) 101 спичка и 201 спичка; б) 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.

   Решение

---

Двое по очереди ставят королей в клетки доски 9 × 9 так, чтобы короли не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

---

Докажите неравенство для натуральных  n > 1:  

   Решение

---

D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98220  (#1)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Существует ли бесконечное число таких троек целых чисел x, y, z, что   x² + y² + z² = x³ + y³ + z³?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98221  (#2)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Обыкновенные дроби ] [ Уравнения с модулями ] [ Обратный ход ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

{a_n} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт  1 – |1 – 2x|.
  а) Докажите, что если a₁ рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.
  б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a₁ рационально.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107765  (#3)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Малые шевеления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существует ли такой многочлен P(x), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (P(x))ⁿ,  n > 1,  положительны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107763  (#4)

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107758  (#5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями